第 2 章　根之间的「分辨不出来」

上一章我们把「用公式解出来」精确成了「根式解」，并且提到，五次方程解不出来的原因跟「根的对称性」有关。这一章就来说清楚，这句话里的对称性指的是什么。

结论会有点反直觉，所以我们从一个尽可能简单的例子开始。

一个奇怪的问题

方程 $x^2 - 2 = 0$ 有两个根：$\sqrt{2}$ 和 $-\sqrt{2}$，大约是 1.414 和 −1.414。

现在我问一个古怪的问题：这两个根，有区别吗？

当然有。一个正一个负，画在数轴上相隔老远。这是显然的。

但请允许我把问题改得精确一点：

只用有理数和四则运算，能不能把这两个根区分开？

「区分开」是什么意思？意思是找到一句关于其中一个成立、关于另一个不成立的话，而且这句话只许用有理数、加减乘除来说。

试试看。$\sqrt{2}$ 满足 $x^2 = 2$，那 $-\sqrt{2}$ 呢？$(-\sqrt{2})^2 = 2$，也满足。换一句：$\sqrt{2}$ 满足 $x^3 = 2x$ 吗？$2\sqrt 2 = 2\sqrt 2$，满足；$-\sqrt{2}$ 呢？$-2\sqrt{2} = 2 \cdot (-\sqrt{2})$，也满足。

那说 $\sqrt{2} > 0$ 呢？—— 这句话用到了大小比较，不在「有理数加四则运算」的范围内。我们暂时把它排除在外，理由后面会说清楚（简单说：这本书里的数最终要跑到复数里去，而复数没有大小顺序）。

于是问题变成：有没有哪怕一句纯粹由有理数和四则运算构成的话，能把它俩分开？

答案是没有。而且这件事可以严格证明。

为什么分辨不出来

先看清楚我们在跟什么样的数打交道。

把 $\sqrt{2}$ 和所有有理数放在一起，用加减乘除反复折腾，能得到些什么数？比如 $3 + 5\sqrt{2}$、$\frac{1}{\sqrt 2}$、$(2+\sqrt 2)^3$ ……看起来会越来越复杂，但其实不会：

加减法显然保持这个形状。乘法也保持：

关键在于 $\sqrt 2 \cdot \sqrt 2 = 2$ 又变回了有理数，所以永远不会冒出 $\sqrt 2$ 的更高次幂。除法稍微绕一点（分母有理化），也保持这个形状。

现在做一件关键的事。定义一个「翻转」动作 $\sigma$，它把每个这种数里的 $\sqrt 2$ 换成 $-\sqrt 2$：

有理数本身（即 $b = 0$ 的情形）在这个动作下原封不动。而 $\sigma$ 有一个了不起的性质：

加法那条一眼可见。乘法那条动手算一下就知道 —— 这一步值得亲手验证，因为整本书的机器都建立在这类计算之上：

设 $u = a + b\sqrt 2$，$v = c + d\sqrt 2$。

先乘后翻：$uv = (ac+2bd) + (ad+bc)\sqrt 2$，所以 $\sigma(uv) = (ac + 2bd) - (ad+bc)\sqrt 2$。

先翻后乘：$\sigma(u)\sigma(v) = (a - b\sqrt 2)(c - d\sqrt 2) = (ac + 2bd) - (ad + bc)\sqrt 2$。

两者相同。乘法确实被保持了。

于是就分辨不出来了

现在把「σ 保持四则运算」用上，就得到了我们要的结论。

（这一步用得上「只会出现 a + b√2」：正因为所有相关的数都是那个形状，$\sigma$ 才定义得下来。）

假设有人拿出一个等式，它只由有理数、四则运算构成，并且 $\sqrt 2$ 满足它。把这个等式整个作用一次 $\sigma$：等号两边都是由加法和乘法搭起来的表达式，而 $\sigma$ 保持加法和乘法、又不动有理数，所以两边各自变成了把 $\sqrt 2$ 换成 $-\sqrt 2$ 的样子，等号依然成立。

也就是说：任何一句只用有理数和四则运算说出的、关于 $\sqrt 2$ 成立的话，把 $\sqrt 2$ 全部换成 $-\sqrt 2$ 之后，依然成立。

所以没有任何这样的话能把它俩分开。它们在有理数的视野里，是一对双胞胎。

这就是本书所说的对称性：不是图形左右对称那种几何意义上的对称，而是 —— 交换方程的根，却不破坏任何有理关系式。

不是所有根都这样

对称是有条件的，不是随便两个数都能互换。

比如 $\sqrt 2$ 和 $\sqrt 3$ 就分得开：$\sqrt 2$ 满足 $x^2 = 2$，而 $\sqrt 3$ 不满足。一句话就分开了。

再比如 $x^3 - 2 = 0$ 的三个根里，有一个是实数 $\sqrt[3]{2}$，另外两个是复数。它们之间能不能互换，能换到什么程度，就不是一眼能看出来的了 —— 这正是需要理论的地方。

于是整件事的形状开始浮现了：

给定一个方程，它的根之间，哪些交换是「有理数看不出来」的？把所有这样的交换收集到一起，就得到了一个东西，它精确地度量了这个方程的对称性。

那个「收集到一起」得到的东西，就是群。而它之所以是一个群、群又为什么是那样定义的，是下一章的事。

在往下走之前，请先把这一章的核心留在手里：