第 1 章　什么叫「用公式解出来」

要证明某样东西不存在，第一步是把它描述清楚。否则连证什么都说不上。

所以这一章不证明任何事，只做一件事：把「用公式解出方程」这句日常话，翻译成一个精确的、可以拿去讨论的说法。

把二次公式拆开看

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

盯着它看，问一个问题：这个式子里用到了哪些运算？

逐个数：bb 前面有负号（减法），b2b^2 是乘法，4ac4ac 是乘法，中间是减法，外面套一个平方根，最后除以 2a2a。

就这些。整个公式由两类动作拼成：

再注意一件事：参与运算的原料只有 a,b,ca, b, c —— 也就是方程本身的系数。公式没有用到任何别的东西。

这两点合起来，就是我们要研究的对象的雏形：从系数出发，只用四则运算和开方，经过有限步，把根写出来。

三次和四次

三次方程也做得到。任何三次方程都可以先做一个简单的换元，把二次项消掉，变成 x3+px+q=0x^3 + px + q = 0 的形状。它的解是：

x=−q2+q24+p3273  +  −q2−q24+p3273x = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} \;+\; \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}

这个公式在 1545 年由 Cardano 发表，长得多，但性质完全一样：原料还是系数（这里是 pp 和 qq），动作还是四则运算加开方 —— 只不过现在既开平方也开立方，而且根号套着根号。

四次方程同样有公式，由 Cardano 的学生 Ferrari 找到。它长到不适合印在这里，但形状还是那个形状：系数、四则运算、层层嵌套的根号、有限步。

到五次，队伍停了下来。

定义：根式解

现在可以把上面观察到的东西写成一句正式的话。

定义 根式解#

设一个多项式方程的系数为 a0,a1,…,ana_0, a_1, \dots, a_n。如果它的某个根可以写成一个表达式，这个表达式从系数出发，只使用

  • 加、减、乘、除，以及
  • 开 mm 次方（mm 为任意正整数）

这两类运算，并且只用有限多步，那么就说这个根有根式解（solution by radicals，直译是「用根号表示的解」）。

注意「有限多步」这个限制。少了它，定义就失效了 —— 允许无限多步的话，几乎任何数都能用无穷级数写出来，问题就变得没有意义了。

于是那个悬了二百五十年的问题，可以精确地问出来了：

是否存在一个公式，对任意五次方程 ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f=0ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0，都能从它的系数出发，用有限次四则运算和开方，写出它的根？

答案是否定的。这本书剩下的部分就是在证明这一点。

三个必须澄清的误解

「五次方程解不出来」这句话，如果不加限定，会引出三个完全错误的理解。它们必须现在就澄清掉，否则后面的每一句话都会走样。

误解一　五次方程没有根

完全不对。 有一条定理保证了任何 nn 次多项式方程（n≥1n \geq 1）在复数范围内恰好有 nn 个根（重根按重数计）。这条定理叫代数基本定理，它对五次方程当然也成立：每个五次方程都有五个复数根，一个不少。

根是存在的。不存在的是把它们写出来的那种公式。

误解二　五次方程的根算不出来

也不对。 给定一个具体的五次方程，用数值方法（比如牛顿法）可以把它的根算到小数点后任意多位，要多准有多准，而且很快。工程上从来不缺解五次方程的手段。

「算得出任意精度的近似值」和「能用根号写成闭合公式」是两回事。这本书只否定后者。

误解三　任何五次方程都解不出来

还是不对。 比如 x5−32=0x^5 - 32 = 0，一眼就看得出 x=2x = 2 是根，五个根全都能用根号漂亮地写出来。再比如 x5−5x4+…x^5 - 5x^4 + \dots 这类可以因式分解成低次因式的，也都能解。

被否定的是通用公式 —— 一个对所有五次方程都管用的式子。个别的五次方程解得出来，而且解得出来的还不少。后面我们会专门构造一个具体的、确实解不出来的五次方程，因为只证明「通用公式不存在」其实还不够彻底。

把三条合起来，被证伪的命题准确说是这一句：

存在一个由五次方程的系数经有限次四则运算和开方构成的表达式，对每一个五次方程都给出它的根。

为什么偏偏是这几种运算

还有一个问题值得现在就问：凭什么只准用四则运算和开方？这个限制是不是有点随意？

是有点随意 —— 而且这恰恰是重点。

回想序言里的棋盘：62 格铺不满，用的是 1×2 的骨牌。要是允许 1×3 的骨牌，或者允许把骨牌掰弯，结论立刻就变了。「做不到」这句话永远是相对于一套被允许的操作而言的，脱离了工具清单，它没有意义。

五次方程的情况一模一样。把工具放宽，它马上就能解：

这些都是货真价实的解，只是没有用根号写出来。所以这本书证明的从来不是「五次方程神秘不可解」，而是一句朴素得多、也精确得多的话：

四则运算和开方这套工具，不够用。

而 Galois 理论的深刻之处在于，它不仅说了不够用，还准确说出了差在哪里：开方这个动作能造成的对称性变化是一类特定的、「温和」的变化，而五次方程根的对称性结构，恰好不属于能由这类温和变化搭出来的那一族。

要把这句话说清楚，我们需要先搞明白「根的对称性」到底指什么。那是下一章的事。