序言：这本书要证明什么

初中课本里有二次方程的求根公式：

十六世纪的意大利数学家找到了三次方程的公式，随后又找到了四次方程的。公式一个比一个长，但它们都存在。

然后就卡住了。整整二百五十年，欧洲最好的数学家轮番去找五次方程的求根公式，没有一个人找到。

1824 年，二十二岁的挪威人 Abel 印了一本六页的小册子，说明了为什么谁也找不到。1831 年，十九岁的法国人 Galois 提交了一篇论文，讲清楚了背后的原因。他们证明的不是「暂时还没找到」，而是：

这样的公式根本不存在。

「没找到」和「不存在」

这两句话听上去差不多，其实隔着一条鸿沟。

设想你在一间屋子里找钥匙，找了很久没找到。这时候有两种可能：钥匙藏得太隐蔽，或者这屋里压根就没有钥匙。

要确认第一种，你只需要继续找，运气好总会找到。但要确认第二种 —— 要证明屋里没有钥匙 —— 继续找是没有用的。哪怕你找了一百年，也只能说明「我还没找到」，说明不了「它不存在」。你需要一种完全不同的论证。

数学里管这类命题叫不可能性证明。它不告诉你怎么做成一件事，而是告诉你这件事做不成，并且给出理由。

怎么证明一件事做不到

先看一个跟方程无关的小例子，它能把这类论证的骨架完整展示出来。

拿一个 8×8 的国际象棋棋盘，把左上角和右下角这两个格子挖掉，剩下 62 格。现在问：能不能用 31 块 1×2 的骨牌，把这 62 格严丝合缝地铺满？每块骨牌盖住相邻的两格，不许重叠，不许悬空。

你可以试，试很久，总差那么一两格。但这只能说明你没试对，不能说明它不可能。真正的证明是这样的：

棋盘的格子有黑白两色，相邻的格子颜色一定不同。于是 —— 这是关键的一步 —— 每一块骨牌，无论怎么摆，都恰好盖住一个黑格和一个白格。所以 31 块骨牌一定盖住 31 黑 31 白。

而被挖掉的左上角和右下角，在棋盘上是同色的。挖掉两个黑格后，剩下的是 30 黑 32 白。

30 ≠ 32。铺不满。

请注意这个论证的形状。我们没有去穷举摆法，而是找到了一个量 ——「黑格数减白格数」—— 它有两个性质：

1. 每一次允许的操作都不改变它（放一块骨牌，黑白各减一，差值不变）；
2. 起点和终点的这个量不一样（开局是 −2，铺满则要求是 0）。

一个在所有允许操作下都保持不变的量，数学里叫不变量。找到一个合适的不变量，「做不到」就从一句猜测变成了一条定理。

五次方程的不变量是什么

Abel 和 Galois 做的事，本质上和上面一样，只是那个不变量要精巧得多。

粗略地说（这里每个词后面都会有精确的定义，现在只求有个印象）：一个方程的几个根之间，往往存在某种对称性 —— 你把它们互相交换位置，某些关系式看上去毫无变化。而「用四则运算和开方写出根」这个动作，每做一步，都会以一种受限的方式改变这份对称性。

于是同样的两条：

1. 每一步开方，对这个对称性结构造成的改变都是同一种类型的；
2. 一般五次方程的对称性结构，不属于能由这类改变累积出来的那一类。

所以从「没解开」走不到「解开」。公式不存在。

那个精确刻画对称性的数学对象叫做群，而「能由开方累积出来的那一类」叫做可解群。这两个词现在还只是名字，后面会从零讲起。

这本书怎么走

我们要走的路是这样的 —— 现在看不懂是正常的，它只是一张地图：

先说清楚「用公式解出来」到底是什么意思 → 观察二次、三次方程的公式里藏着的对称性 → 把对称性精确化，得到群 → 弄清什么样的群叫可解的 → 把方程的根装进一个能做四则运算的数集，叫做域 → 建立方程的域与它的对称性群之间的对应 → 证明「能用根式解出来」必然导致「群可解」 → 证明五次的群不可解 → 收尾。

每一个新概念，都会先给出定义、举出例子，再拿去用。不会出现没解释过就使用的名词。

三个阅读约定

一、折叠块。 有几个引理是必需的，但证明纯属技术性的体力活，读起来枯燥且对理解主线没有帮助。这类证明我会折叠起来，像这样：

二、定理有名字，没有编号。 这本书里不会出现「由定理 3.2 可知」这种话。每一条需要被反复引用的结论都有一个说明它内容的名字，比如「σ 保持四则运算」，引用时直接写这个名字。这样你读到引用时就知道说的是什么，不必回头去查编号对应哪一条。

三、随时可以往回跳。 左侧目录里，当前这一章的小节会自动展开，顶上还有搜索（快捷键 / 或 Ctrl/⌘ + K），忘了某个定义就跳回去。这本书是按「可以反复查阅」来写的，不是按「一口气读完」来写的。

那么开始。第一件要弄清楚的事是：所谓「解出来」，到底是指什么？